Question

已知函数f（x）=x+

4

x

（1）求函数f（x）定义域；
（2）判断并证明函数f（x）=x+

4

x

的奇偶性
（3）证明函数f（x）=x+

4

x

在x∈[2，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）直接根据分式有意义时分母不为0，求出x的取值范围，得到本小题结论；（2）利用函数奇偶性定义，可证明本小题结论；（3）利用函数单调性定义证明本小题结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x+

4

x

，
∴分母x≠0，
∴函数f（x）定义域为{x|x≠0，x∈R}．
（2）任取x∈R，
则有f（-x）=-x+

4

-x

=-（x+

4

x

）=-f（x），
∴函数f（x）=x+

4

x

是奇函数．
（3）在[2，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=（x₂+

4

x2

）-（x1+

4

x1

）=（x₂-x₁）+（

4

x2

-

4

x1

）=（x₂-x₁）(1-

4

x1x2

)=

(x2-x1)(x1x2-4)

x1x2

．
∵2≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-4＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂＞f（x₁）．
∴函数f（x）=x+

4

x

在x∈[2，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数的定义域、函数的奇偶性、函数的单调性，本题难度不大，属于基础题．