Question

已知点M(1，y)在抛物线C：y²=2px(p＞0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y=-x+b与抛物线C交于A，B两点，
(1)求抛物线C的方程；
(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；
(3)若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

解：(1)抛物线y²=2px(p＞0)的准线为，
由抛物线定义和已知条件可知，解得p=2，
故所求抛物线方程为y²=4x。
(2)联立，消去x并化简整理得y²+8y-8b=0，
依题意应有Δ=64+32b＞0，解得b＞-2，
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，
设圆心Q(x₀，y₀)，则应有，
因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆的半径为r=|y₀|=4，
又|AB|=
，
所以，解得，
所以x₁+x₂=2b-2y₁+2b-2y₂=4b+16=，
所以圆心坐标为，
故所求圆的方程为。
(3)因为直线l与y轴负半轴相交，所以b＜0，
又l与抛物线C交于两点，由(2)知b＞-2，所以-2＜b＜0，
直线l：整理得x+2y-2b=0，
点O到直线l的距离，
所以，
令g(b)=b³+2b²，-2＜b＜0，，
当b变化时，g′(b)、g(b)的变化情况如下表：

由上表可得g(b)的最大值为，
所以当时，△AOB的面积取得最大值。