Question

若S_n是等差数列{a_n}的前n项和，其首项a₁＞0，a₉₉+a₁₀₀＞0，a₉₉•a₁₀₀＜0，则使S_n＞0成立的最大自然数n是（ ）
A．198
B．199
C．200
D．201

Answer 1

【答案】分析：先根据a₉₉•a₁₀₀＜0，a₁＞0，a₉₉+a₁₀₀＞0，判断出a₁₀₀＜0，利用等差数列通项公式可知a₁+99d＜0同乘以2得2a₁+199d＜0，即a₉₉+a₁₀₁＜0，根据a₉₉+a₁₀₀＞0，可知在连续相邻的两项中，a₉₉+a₁₀₀＞0之后的和都将小于0．要使S_n＞0成立，取最大自然数，n满足 a₉₉+a₁₀₀=a₁+a₁₉₈，进而根据等差数列求和公式求得答案．
解答：解：∵a₉₉•a₁₀₀＜0，
∴a₉₉和a₁₀₀异号
∵a₁＞0，a₉₉+a₁₀₀＞0，
∴a₉₉＞0，a₁₀₀＜0，即a₁+99d＜0
∴2a₁+199d＜0，即a₉₉+a₁₀₁＜0，a₁₀₀+a₁₀₁＜0
∵a₉₉+a₁₀₀＞0，
∴在连续相邻的两项中，a₉₉+a₁₀₀＞0之后的和都将小于0．
要使S_n＞0成立，取最大自然数，n满足
a₉₉+a₁₀₀=a₁+a₁₉₈，此时S_n=＞0
∴n=198
故选A
点评：本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．