Question

直线xcosθ+

3

y+2=0的倾斜角α的取值范围是

[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π）

．

Answer 1

分析：将直线化成斜截式得斜率k=-

3

3

cosα．设直线的倾斜角为θ，由cosα∈[-1，1]得-

3

3

≤tanθ≤

3

3

，结合直线倾斜角的范围和正切函数的单调性加以讨论，可得本题答案．

解答：解：将直线xcosθ+

3

y+2=0化成斜截式，得y=-

3

3

xcosα-

2 3

3

．
∴直线的斜率k=-

3

3

cosα，
设直线的倾斜角为θ，可得tanθ=-

3

3

cosα，
由cosα∈[-1，1]，得-

3

3

≤tanθ≤

3

3

当0≤tanθ≤

3

3

时，0≤θ≤

π

6

；当-

3

3

≤tanθ＜0时，

5π

6

≤θ＜π．
综上所述，直线的倾斜角θ∈[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π）．
故答案为：[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π）

点评：本题给出直线的方程，求直线倾斜角的取值范围．着重考查了正弦函数的值域、直线的斜率与倾斜角等知识，属于中档题．