Question

【题目】设{an}是首项为1，公差为2的等差数列，{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．记cn=an+bn ， n=1，2，3，…．
（1）若{cn}是等差数列，求q的值；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：{an}是首项为1，公差为2的等差数列，

所以 an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

{bn}是首项为1，公比为q的等比数列，

所以bn=qn﹣1．

所以cn=an+bn=2n﹣1+qn﹣1．

因为{cn}是等差数列，

所以2c2=c1+c3，

即 2（3+q）=2+5+q2，解得q=1．

经检验，q=1时，cn=2n，所以{cn}是等差数列

（2）解：由（1）知cn=an+bn=2n﹣1+qn﹣1．（n=1，2，…）

所以数列{cn}的前n项和Sn=（1+3+5+…+2n﹣1）+（1+q+q2+…qn﹣1），

当q=1时，Sn= n（1+2n﹣1）+n=n2+n；

当q≠1时，Sn=n2+

【解析】（1）分别运用等差数列和等比数列的通项公式，可得an，bn，再由等差数列中项的性质，解方程可得q的值；（2）求出cn=an+bn=2n﹣1+qn﹣1．（n=1，2，…），运用数列的求和方法：分组求和，讨论公比q为1与不为1，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．