Question

（2012•蓝山县模拟）某学校餐厅为了保证每天供应1000名学生用餐，每星期一都提供有A、B两种菜可供学生选择（每个学生都将从二种中选一种），经调查，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A．用a_n、b_n分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数（a₁、b₁表示本周星期一选A菜人数），若a₁=200．
（1）试以a_n表示a_n+1；
（2）证明：{a_n}的通项公式是an=(-400)•(

1

2

)n-1+600；
（3）试问从第几个星期一开始，选A人数超过选B的人数？

Answer 1

分析：（1）根据在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，结合a_n+b_n=1000，即可以a_n表示a_n+1；
（2）确定{a_n-600}可以看成是首项为-400，公比为

1

2

的等比数列，即可证得结论；
（3）由a_n+b_n=1000，a_n＞b_n得a_n＞500，结合（2）的结论，即可求出结论．

解答：（1）解：由题可知，∵在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，
∴a_n+1=a_n•（1-0.2）+0.3•b_n，
又a_n+b_n=1000，所以整理得：an+1=

1

2

an+300…（4分）
（2）证明：∵a₁=200，且an+1=

1

2

an+300
∴an+1-600=

1

2

(an-600)
即{a_n-600}可以看成是首项为-400，公比为

1

2

的等比数列．
∴an=(-400)•(

1

2

)n-1+600…（9分）
（3）解：由a_n+b_n=1000，a_n＞b_n得a_n＞500
又an=(-400)•(

1

2

)n-1+600，∴(

1

2

)n-1＜

1

4

，即 n＞3
答：从第4个星期一开始，选A人数超过选B人数．…（13分）

点评：本题考查数列的应用，考查求数列的通项，解题的关键是确定数列递推式，从而确定数列的通项．