Question

已知双曲线的方程为x²-

y2

3

=1，直线m的方程为x=

1

2

，过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线的右支相交于点P，Q两点，以PQ为直径的圆与直线m相交于M，N，记劣弧MN的长度为n，则

n

|PQ|

的值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由直角梯形的中位线性质可得：d=

d1+d2

2

，再利用双曲线的第二定义可得r=d₁+d₂，即可得到∠MEN=

2π

3

，即可根据弧长公式得到弧长，进而得到答案．

解答： 解：双曲线的方程为x²-

y2

3

=1的a=1，b=

3

，c=2，e=

c

a

=2．
直线m的方程为x=

1

2

，即为右准线方程．
设P、Q到右准线的距离分别等于d₁、d₂，
PQ的中点为E，E到右准线的距离等于d，并且圆的半径等于r=

|PQ|

2

，
由直角梯形的中位线性质可得：d=

d1+d2

2

，
再根据双曲线的第二定义可得：

|PF|

d1

=e=2，

|QF|

d2

=e=2，
所以|PF|+|QF|=2（d₁+d₂）=2r，
所以r=d₁+d₂，
即可得到r=2d，
所以∠MEN=

2π

3

，则有劣弧MN的长度为n=

2πr

3

，
所以

n

|PQ|

=

π

3

．
故答案为：

π

3

．

点评：本题考查双曲线的第二定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用与圆的有关性质及其应用．