Question

在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=BC。
（Ⅰ）证明：FO∥平面CDE；
（Ⅱ）设BC=2，CD=2，OE=，求EC与平面ABCD所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：取CD的中点M，连结OM， 在矩形ABCD中，， 又，则， 连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形， ∴FO∥EM， 又平面CDE，且EM平面CDE， ∴FO∥平面CDE。 （Ⅱ）连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM， EM⊥CD，且， 又， 因此，平行四边形EFOM为菱形， 过E作EG⊥OM于G， ∵CD⊥EM，CD⊥OM， ∴CD⊥平面EOM，∴CD⊥EG， 因此，EG⊥平面ABCD，所以，∠EGC为EC与底面ABCD所成角， 在△EOM中，，则△EOM为正三角形， ∴点E到平面ABCD的距离为， 所以，， 即EC与平面CDF所成角的正弦值为。