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已知二项式(
5x
-
1
x
)n
,其中n∈N,n≥3.
(1)若在展开式中,第4项是常数项,求n;
(2)设n≤2012,在其展开式,若存在连续三项的二项式系数成等差数列,问这样的n共有多少个?
分析:(1)利用二项式的展开式求出第4项,通过x的指数为0,求出a的值.
(2)连续三项的二项式系数分别为
C
k-1
n
C
k
n
C
k+1
n
(1≤k≤n-1),由题意2
C
k
n
=
C
k-1
n
+
C
k+1
n
,化简求解,利用n为自然数求出所有的n的个数.
解答:解:(1)∵T4=
C
3
n
(
5x
)n-3(-
1
x
)3=
C
3
n
(-1)3x
n-18
5
为常数项,
n-18
5
=0,即n=18;                                    …..(3分)
(2)连续三项的二项式系数分别为
C
k-1
n
C
k
n
C
k+1
n
(1≤k≤n-1),
由题意2
C
k
n
=
C
k-1
n
+
C
k+1
n

依组合数的定义展开并整理得n2-(4k+1)n+4k2-2=0,
n1,2=
4k+1±
8k+9
2
,…..(6分)
则因为n为整数,并且8k+9是奇数,所以令8k+9=(2m+1)2⇒2k=m2+m-2,
代入整理得n1=(m+1)2-2n2=m2-2,∵442=1936,452=2025,
故n的取值为442-2,432-2,…,32-2,共42个.      …..(10分)
点评:本题考查二项式定理的展开式的应用,方程的思想的应用,考查计算能力.
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已知二项式(5x-
1
x
)n
展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240,
(1)求n;
(2)求展开式中含x项的系数;
(3)求展开式中所有x的有理项.

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