Question

如图,在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.

(1)试确定点F的位置,使得D₁E⊥平面AB₁F;

(2)当D₁E⊥平面AB₁F时,求二面角C₁EFA的大小(结果用反三角函数值表示).

Answer 1

解法一:(1)连结A₁B,则A₁B是D₁E在面ABB₁A₁内的射影.

∵AB₁⊥A₁B,∴D₁E⊥AB₁.

于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF.

连结DE，则DE是D₁E在底面ABCD内的射影.∴D₁E⊥AFDE⊥AF.

∵四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,

∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,

即当点F是CD的中点时,D₁E⊥平面AB₁F.

(2)当D₁E⊥平面AB₁F时,由(1)知点F是CD的中点.

又已知点E是BC的中点,连结EF,EF∥BD.

连结AC.设AC与EF交于点H,则CH⊥EF.连结C₁H,

则CH是C₁H在底面ABCD内的射影.

∴C₁H⊥EF,即∠C₁HC是二面角C₁-EF-C的平面角.

在Rt△C₁CH中,∵C₁C=1,CH=AC=,

∴tan∠C₁HC==2.

∴∠C₁HC=arctan2,从而∠AHC₁=π-arctan2.

故二面角C₁-EF-A的大小为π-arctan2.

解法二:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

 (1)设DF=x,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A₁(0,0,1),B₁(1,0,1),D₁(0,1,1),E(1, ,0),F(x,1,0).

∴=(1,- ,-1), =(1,0,1), =(x,1,0).

∴·=1-1=0,即⊥.

于是⊥平面AB₁F⊥AF·=0x-=0,

即x=.故当点F是CD的中点时,D₁E⊥平面AB₁F.

(2)当D₁E⊥平面AB₁F时,F是CD的中点.

又E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD.

连结AC,设AC与EF交于点H,则AH⊥EF.

连结C₁H,则CH是C₁H在底面ABCD内的射影.

∴C₁H⊥EF,即∠AHC₁是二面角C₁-EF-A的平面角.

∵C₁(1,1,1),H(,,0),

∴=(,,1), =(-,-,0).

∴cos∠AHC₁=,

即∠AHC₁=arccos(-)=π-arccos.

故二面角C₁-EF-A的大小为π-arccos.