Question

下列命题中所有正确的序号是

①④

．
①函数f（x）=a^x-1+3（a＞0且a≠1）的图象一定过定点P（1，4）；
②函数f（x-1）的定义域是（1，3），则函数f（x）的定义域为（2，4）；
③已知f（x）=x⁵+ax³+bx-8，且f（-2）=8，则f（2）=-8；
④f（x）=

1

1-2x

-

1

2

为奇函数．

Answer 1

分析：根据指数的运算性质a⁰=1（a＞0且a≠1）恒成立，求出函数图象所过的定点，可判断①；根据抽象函数的定义域的求法，可判断②；根据奇函数的图象和性质，求出f（2），可判断③；根据奇函数的定义及判定方法，可判断④

解答：解：当x=1时，a^x-1=a⁰=1（a＞0且a≠1）恒成立，故f（1）=4恒成立，故函数f（x）=a^x-1+3（a＞0且a≠1）的图象一定过定点P（1，4），故①正确；
函数f（x-1）的定义域是（1，3），则函数f（x）的定义域为（0，2），故②错误；
已知f（x）=x⁵+ax³+bx-8，且f（-2）=8，则f（2）=-24，故③错误；
f（x）=

1

1-2x

-

1

2

的定义域为{x|x≠0}，且f（-x）=

1

1-2-x

-

1

2

=

2x

2x-1

-

1

2

=

1

2

-

1

1-2-x

=-f（x），故f（x）为奇函数，故④正确；
故答案为：①④

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．