Question

5．设函数f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+{x}^{2}-a}$（x＞0，a∈R，e为自然对数的底数），若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是1≤a≤e．

Answer 1

分析 利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．

解答 解：∵存在b∈[0，1]，使f（f（b））=b成立
∴存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）
即函数f（x）与其反函数f^-1（x）在[0，1]上有交点
∵f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+{x}^{2}-a}$在[0，1]上为增函数
∴函数f（x）与其反函数f^-1（x）在[0，1]的交点在直线y=x上，
即函数f（x）与其反函数f^-1（x）的交点就是f（x）与y=x的交点
令：e^x+x²-a=x²，则方程在[0，1]上一定有解
∴a=e^x，
∴1≤a≤e．
故答案为：1≤a≤e．

点评 本题主要考察了复合函数的性质，综合性较强，属于难题．