Question

已知：函数f(x)=

x2+4

x

，
（1）求：函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（3）判断函数f（x）在（-∞，-2）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析：（1）要是函数有意义，只要x≠0即可；
（2）由函数奇偶性的定义，只要判断f（-x）和f（x）的关系即可；
（3）由函数单调性的定义，在（-∞，-2）上任取两个自变量，做差比较两个函数值的大小即可．

解答：解：（1）定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）定义域关于原点对称，
f(-x)=

(-x)2+4

-x

=-

x2+4

x

=-f(-x)，
则：函数f（x）是奇函数；
（3）判断：函数f（x）在（-∞，-2）上是增函数，
证明：任取x₁，x₂∈（-∞，-2）且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

x12+4

x1

-

x22+4

x2

=

(x1x2-4)(x1-x2)

x1x2

∵x₁＜x₂＜-2，∴x₁x₂-4＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（-∞，-2）上是增函数．

点评：本题考查求函数的定义域问题、函数单调性和奇偶性的判断和证明，属基本题型、基本方法的考查，难度不大．