Question

已知tanα=-

1

3

，cosβ=

5

5

，α，β∈（0，π）
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求函数f(x)=

2

sin(x-α)+cos(x+β)的最大值．

Answer 1

分析：（1）先由cosβ求sinβ，进而求tanβ，再利用公式tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

解之；
（2）先由tanα求出sinα、cosα，再利用公式sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ与cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ化简函数f（x），最后根据-1≤sinx≤1求出f（x）的最大值．

解答：解：（1）由cosβ=

5

5

，β∈（0，π）
得sinβ=

2 5

5

，所以tanβ=2，
于是tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

- 1 3 +2

1+ 2 3

=1．
（2）因为tanα=-

1

3

，α∈(0，π)
所以sinα=

1

10

，cosα=-

3

10

f(x)=-

3 5

5

sinx-

5

5

cosx+

5

5

cosx-

2 5

5

sinx=-

5

sinx
故f（x）的最大值为

5

．

点评：本题主要考查两角和与差的三角函数公式．