Question

（2011•沈阳二模）已知O为坐标原点，点M的坐标为（a，1）（a＞0），点N（x，y）的坐标x、y满足不等式组

x+2y-3≤0 x+3y-3≥0 y≤1

．若当且仅当

x=3 y=0

时，

OM

•

ON

取得最大值，则a的取值范围是（　　）

• A．（0，

  1

  3

  ）
• B．（

  1

  3

  ，+∞）
• C．（0，

  1

  2

  ）
• D．（

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，由于

OM

•

ON

=（a，1）•（x，y）=ax+y，设z=ax+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=ax+y过可行域内的点（3，0）时，z最大，求出取值a的取值范围即可．

解答：解：先根据约束条件画出可行域，
则

OM

•

ON

=（a，1）•（x，y）=ax+y，
设z=ax+y，
画出可行域如图所示，
其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），
若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）取得最大值，
必满足Z_B＞Z_C，Z_B＞Z_D时取得，故有
3a＞a+1且3a＞1，
解得a＞

1

2

故选D

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．