Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，椭圆C过点(

1

2

，

3

)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（0，m）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S_△AOB，将S_△AOB表示为m的函数，并求S_△AOB的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件设椭圆C的方程为：

x2

4b2

+

x2

b2

=1，再由椭圆C过点(

1

2

，

3

)，能求出椭圆C的标准方程．
（2）由题意知|m|≥1．设切线l的方程为y=kx+m，由

y=kx+m y 2   4 + x 2   =1

，得(

k

2

+4)

x

2

+2k mx+m2-4=0，利用韦达定理结合题设条件能求出S_△AOB的最大值．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，
∴a=2b，设椭圆C的方程为：

x2

4b2

+

x2

b2

=1，
∵椭圆C过点(

1

2

，

3

)，
∴

3

4b2

+

1

4b2

=1，∴b=1，a=2，
∴椭圆C的标准方程为

y2

4

+x2=1．…（4分）
（2）由题意知，|m|≥1．
由题设知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+m，
由

y=kx+m y 2   4 + x 2   =1

，得(

k

2

+4)

x

2

+2k mx+m2-4=0，
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），
则x1+x2=-

2km

k2+4

，x1x2=

m2-4

k2+4

，…（6分）
又∵l与圆x²+y²=1相切，
∴

|m|

k2+1

=1，k²=m²-1，
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)[ 4k2m2 (k2+4)2 - 4(m2-4) k2+4 ]

=

4 3 |m|

m2+3

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|=

2 3 |m|

m2+3

，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）
∴S△AOB=

2 3

|m|+ 3 |m|

≤

2 3

2 |m| 3 |m|

=1（当且仅当m=±

3

时取等号）
∴当m=±

3

时，S_△AOB的最大值为1．…（13分）

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、均值不等式的合理运用．