Question

在△ABC中，若三边a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC的形状是

 

三角形．（填写“等腰”、“等边”、“直角”或“等腰直角”之一）

Answer 1

分析：由三角形的三边成等差数列，根据等差数列的性质得到a+c=2b，记作①，再由sinA，sinB及sinC成等比数列，根据等比数列的性质得到一个关系式，利用正弦定理化简得到关于a，b及c的关系式，记作②，联立①②消去b得到关于a与c的关系式，变形可得出a=c，从而得到a，b及c都相等，故三角形为等边三角形．

解答：解：∵三边a，b，c成等差数列，∴a+c=2b①，
又sinA，sinB，sinC成等比数列，
∴sin²B=sinA•sinC，
根据正弦定理化简得：b²=ac②，
由①得：b=

a+c

2

，代入②得：

(a+c)2

4

=ac，即（a-c）²=0，
∴a=c，故b=a=c，
则三角形为等边三角形．
故答案为：等边

点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有等差数列的性质，等比数列的性质，正弦定理以及等边三角形的判定，灵活运用等差及等比数列的性质及正弦定理得出关于三角形三边的两关系式是解本题的关键．