Question

若函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在[-1，1]上的最大值是14，则a=

 

．

Answer 1

分析：由题意令t=a^x，则原函数变成关于t的二次函数，分a＞0和0＜a＜1两种情况，分别求出t的范围，根据在区间上的单调性求出函数有最大值时对应的t值，进而求出a的值，注意验证范围．

解答：解：令t=a^x，则y=t²+2t-1=（t+1）²-2，
当a＞1时，∵x∈[-1，1]，则t∈[

1

a

，a]，
∴函数在[

1

a

，a]上是增函数，
∴当t=a时，函数取到最大值14=a²+2a-1，
解得a=3或-5，故a=3，
当0＜a＜1时，∵x∈[-1，1]，则t∈[a，

1

a

]，
∴函数在[a，

1

a

]上是增函数，
∴当t=

1

a

时，函数取到最大值14=

1

a

•

1

a

+2

1

a

-1，
解得

1

a

=3或-5，
故

1

a

=3，即a=

1

3

．
综上，a的值是3或

1

3

．
故答案为：3或

1

3

．

点评：本题的考点是函数的最值问题，考查了用换元法将原函数转变为二次函数，注意求出换元后变量的范围，本题是对底数进行分类后，根据指数函数的性质求出变量范围，再根据二次函数在区间上的单调性求有关最值问题．