Question

定义在R上的函数f（x）=x-x³，f（x）=x²+1，f（x）=sinx，f（x）=e^-x-e^x中，同时满足条件
①f（-x）+f（x）=0；
②对一切x₁，x₂∈[0，1]，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0两个条件的（　　）

A．共有1个

B．共有2个

C．共有3个

D．共有4个

Answer 1

分析：由条件①可得函数是奇函数，条件②可得函数在[0，1]上为增函数，根据基本初等函数的奇偶性和单调性，逐一分析四个函数的单调性和奇偶性，可得答案．

解答：解：若f（-x）+f（x）=0，则函数f（x）为奇函数；
若对一切x₁，x₂∈[0，1]，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，则函数在[0，1]上为增函数，
f（x）=x-x³是奇函数，且f′（x）=1-3x²，在[0，

3

3

]上，f′（x）≤0，函数为减函数；
f（x）=x²+1为偶函数，
f（x）=sinx是奇函数，且在[0，1]上为为增函数；
f（x）=e^-x-e^x是奇函数，但在[0，1]上为为减函数；
故选A

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，其中熟练掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．