Question

已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，

.

  （1）求数列的通项公式；

  （2）设由（）构成的新数列为，求证：当且仅当时，数列是等差数列；

  （3）对于（2）中的等差数列，设（），数列的前

项和为，现有数列，（），

是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小

值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）    （2）见解析 

（3）存在不小于13的整数，使对一切都成立，

解析:

   （1）∵等差数列中，公差，

∴  （4分）

（2），，         （6分）

由得，化简得，∴（8分）

反之，令，即得，显然数列为等差数列，

∴ 当且仅当时，数列为等差数列.                    （10分）

（3）

∴

      （12分）

∴当时，，当时，，当时，，∴，       （14分）

∴存在不小于13的整数，使对一切都成立，    （16分）