Question

已知椭圆及圆的方程分别为

x2

a2

+

y2

b2

=1和x²+y²=r²，若直线AB与圆相切于点A，与椭圆有唯一的公共点B，若a＞b＞0是常数，试写出AB长度随动圆半径变化的函数关系式|AB|=f（x），并求其最大值．

Answer 1

分析：先设A（x₀，y₀），则过A的圆的切线方程为x₀x+y₀y=r²，将其与椭圆方程联立，得一一元二次方程，由△=0，整理后即可得|AB|=f（r），求f（x）最大值时使用均值定理，注意等号成立的条件．

解答：解：设A（x₀，y₀），则过A的圆的切线方程为x₀x+y₀y=r²，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得
（b2+

a2 x02

y02

）x²-

2a2r2x0

y02

x+

a2r4

y02

-a²b²=0
由△=0得（x-x₀）²+（y-y₀）²=a²+b²-

a2b2

r2

-x²
∴

f(x)= a2+b2- a2b2 x2 -x2 ，a＜x＜b

∵

a2b2

x2

+x²≥2

a2b2 x2 •x2

=2ab
∴f（x）≤

a2+b2-2ab

=a-b
（当且仅当x=

ab

时取等号）
∴

f(x)= a2+b2- a2b2 x2 -x2 ，a＜x＜b

f（x）的最大值为a-b

点评：本题考查了圆与椭圆的关系，直线与曲线相切的关系，有一定的运算量，解题时要耐心细致