Question

3．如图，在长方体中ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=3，BC=AA₁=4，点O是AC的中点．
（1）求异面直线AD₁和DC₁所成角的余弦值．
（2）求点C到平面BC₁D的距离．

Answer 1

分析 （1）由OO₁∥AD₁知，AD₁和DC₁所成角等于OO₁和DC₁所成的锐角或直角；
（2）设点C到平面BC₁D的距离为h，则V_C-BC1D=V_C1-BCD，即用体积转化的方法求点到平面的距离．

解答 解：（1）由OO₁∥AD₁知，AD₁和DC₁所成角等于OO₁和DC₁所成的锐角或直角，
在△OO₁D中，由题设可得，OD=$\frac{5}{2}$，O₁D=2$\sqrt{2}$，OO₁=$\frac{5}{2}$，
由余弦定理得，cos∠OO₁D=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故AD₁和DC₁所成角的余弦值为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）设点C到平面BC₁D的距离为h，
则有：V_C-BC1D=V_C1-BCD，
其中，V_C1-BCD=$\frac{1}{3}$•$\frac{BC•CD}{2}$•CC₁=$\frac{1}{3}$•$\frac{3•4}{2}$•4=8，
在△BDC₁中，BD=5，DC₁=5，BC₁=4$\sqrt{2}$，
所以，△BDC₁的面积为$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5^2-（2\sqrt{2}）^2}$•4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{34}$，
再由V_C-BC1D=V_C1-BCD得，$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{34}$•h=8，
解得h=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$，
即点C到平面BC₁D的距离为：$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．

点评 本题主要考查了异面直线所成的角的确定和求解，以及运用体积转化的方法求点到平面距离，属于中档题．