Question

(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x³＋x²－2.
(1)设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n，其中a₁＝3.若点(a_n，a_n＋1²－2a_n＋1)(n∈N^*)在函数y＝f′(x)的图象上，求证：点(n，S_n)也在y＝f′(x)的图象上；
(2)求函数f(x)在区间(a－1，a)内的极值．

Answer 1

解析：
(1)证明：因为f(x)＝x³＋x²－2，
所以f′(x)＝x²＋2x，
由点(a_n，a_n＋1²－2a_n＋1)(n∈N^*)在函数y＝f′(x)的图象上，得a_n＋1²－2a_n＋1＝a_n²＋2a_n，即(a_n＋1＋a_n)(a_n＋1－a_n－2)＝0.
又a_n>0(n∈N^*)，所以a_n＋1－a_n＝2.
又因为a₁＝3，
所以数列{a_n}是以3为首项，以2为公差的等差数列，
所以S_n＝3n＋×2＝n²＋2n.
又因为f′(n)＝n²＋2n，所以S_n＝f′(n)，
故点(n，S_n)也在函数y＝f′(x)的图象上．
(2)f′(x)＝x²＋2x＝x(x＋2)，
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，－2)	－2	(－2,0)	0	(0，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

注意到|(a－1)－a|＝1<2，从而
①当a－1<－2<a，即－2<a<－1时，f(x)的极大值为f(－2)＝－，此时f(x)无极小值；
②当a－1<0<a，即0<a<1时，f(x)的极小值为f(0)＝－2，此时f(x)无极大值；
③当a≤－2或－1≤a≤0或a≥1时，f(x)既无极大值又无极小值．

略