Question

已知函数，（ a＞0，a≠1，a为常数）
（1）当a=2时，求f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，判断函数在区间（0，+∞）上的单调性；
（3）当a＞1时，若f（x）在[1，+∞）上恒取正值，求a应满足的条件．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据对数函数的性质可知，真数恒大于零，建立不等关系，解之即可；
（2）在定义域（0，+∞）内任取两个值x₁，x₂，并规定大小，然后将它们的函数值进行作差比较，确定符号，根据单调性的定义可知该函数的单调性；
（3）根据题意可转化成对x∈[1，+∞）恒成立，只需研究在[1，+∞）上的最小值恒大于1即可．
解答：解：，
∴x＞0．f（x）的定义域为（0，+∞）
（2）当a＞1时，函数的定义域为（0，+∞）．任取0＜x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=，
由于a＞1，有，
∴y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂
∴在其定义域上是增函数．（也可：由a＞1，知a^x递增，0.5^x递减，-（0.5）^x也递增，故g（x）递增）
（3）依题意，，即对x∈[1，+∞）恒成立，
由于a＞1时， 上递增，
∴，得，∴．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及指数函数的单调性和对数函数的定义域，属于基础题．