Question

16．把-块边长为10cm正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥）形容器，
（1）试建立容器的容积V与所截等腰三角形的底边边长为x的函数关系式，并求出函数的定义域．
（2）试求容积V的最大值；
（3）当x=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$时，M是BC的中点，P是EB上一点，求AP+PM最小值．

Answer 1

分析 （1）由图可知：EO⊥平面ABCD，EF=5，OF=$\frac{1}{2}x$，EO=$\sqrt{E{F}^{2}-O{F}^{2}}$．利用V=$\frac{1}{3}•EO•{S}_{正方形ABCD}$剪开得出．
（2）设$\sqrt{100-{x}^{2}}$=t∈（0，10），则x²=100-t²．可得V=$\frac{1}{6}$t（100-t²）=$\frac{1}{6}（100t-{t}^{3}）$=f（t），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
（3）把△EAB，△EBC，剪开在同一个平面内，连接AM交EB于点P．当x=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$时，tan∠EBA=$\sqrt{3}$，可得∠EBA=60°．∠ABM=120°．在△ABM中，利用余弦定理即可得出．

解答 解：（1）由图可知：EO⊥平面ABCD，
EF=5，OF=$\frac{1}{2}x$，EO=$\sqrt{E{F}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{100-{x}^{2}}}{2}$．
∴V=$\frac{1}{3}•EO•{S}_{正方形ABCD}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{100-{x}^{2}}}{2}$×x²（0＜x＜10）．
（2）设$\sqrt{100-{x}^{2}}$=t∈（0，10），则x²=100-t²．
∴V=$\frac{1}{6}$t（100-t²）=$\frac{1}{6}（100t-{t}^{3}）$=f（t），
则f′（t）=$\frac{1}{6}（100-3{t}^{2}）$=$\frac{-（t+\sqrt{\frac{100}{3}}）（t-\sqrt{\frac{100}{3}}）}{2}$，
当$t∈（0，\sqrt{\frac{100}{3}}）$时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当$t∈（\sqrt{\frac{100}{3}}，10）$时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．
∴当t=$\sqrt{\frac{100}{3}}$即x=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$时，f（t）取得最大值$\frac{1000\sqrt{3}}{27}$cm³．
（3）把△EAB，△EBC，剪开在同一个平面内，连接AM交EB于点P．当x=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$时，tan∠EBA=$\frac{5}{\frac{1}{2}×\frac{10\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$，∴∠EBA=60°．
∴∠ABM=120°．
在△ABM中，由余弦定理可得：AM²=$（\frac{10\sqrt{3}}{3}）^{2}$+$（\frac{5\sqrt{3}}{3}）^{2}$-$2×\frac{10\sqrt{3}}{3}×\frac{5\sqrt{3}}{3}×cos12{0}^{°}$=$\frac{175}{3}$．
∴AM=$\frac{5\sqrt{21}}{3}$．
∴AP+PM最小值为AM=$\frac{5\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、体积计算、勾股定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．