Question

（本小题满分14分）已知递增等差数列中的是函数的两个零点．数列满足，点在直线上，其中是数列的前项和．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和．

Answer 1

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查函数零点、等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，先解出函数的两个零点，由于数列是递增数列，排除一组解，再利用等差数列的通项公式求，利用点在直线上，得到与的关系式，再利用证出数列是等比数列，最后利用等比数列的前n项和公式求；第二问，利用第一问的结论，先求出表达式，利用错位相减法求和，在此过程中要用到等比数列的前n项和公式计算.

试题解析：（1）∵，是函数的两个零点，则

，解得：或. ..2分

又等差数列递增，则，∴ .4分

∵点在直线上，则。

当时，，即. .5分

当时， ，即. .. 6分

∴数列为首项为，公比为的等比数列，即. . 7分

（2）由（1）知：且， ... 8分

则 ...9分

∴①

② . 10分

①-②得： . 12分

∴. 或写 . 14分

考点：等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和.