Question

17．如图，某市若规划一居民小区ABCD，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90°，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF建活动休闲区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为1千米，△AEF的面积为S．
（1）①设AE=x，求S关于x的函数关系式；
②设∠AEF=θ，求S关于θ的函数关系式；
（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）①设AF=y，由勾股定理可得y=$\frac{1-2x}{2（1-x）}$（由y＞0可得0＜x＜$\frac{1}{2}$），即可得到S的解析式；
②AF=xtanθ，EF=$\frac{x}{cosθ}$，由周长为1，解得x，即可得到S的解析式；
（2）由①得S=$\frac{x（1-2x）}{4（1-x）}$（0＜x＜$\frac{1}{2}$），设1-x=t（$\frac{1}{2}$＜t＜1），则x=1-t，可得S=$\frac{1}{4}$•$\frac{（1-t）（2t-1）}{t}$=$\frac{1}{4}$•（3-2t-$\frac{1}{t}$）运用基本不等式，可得最大值及x的值．

解答 解：（1）①设AF=y，由勾股定理可得x²+y²=（1-x-y）²，
解得y=$\frac{1-2x}{2（1-x）}$（由y＞0可得0＜x＜$\frac{1}{2}$），
可得S=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{x（1-2x）}{4（1-x）}$（0＜x＜$\frac{1}{2}$）；
②AF=xtanθ，EF=$\frac{x}{cosθ}$，
由x+xtanθ+$\frac{x}{cosθ}$=1，可得x=$\frac{cosθ}{cosθ+sinθ+1}$，
即有S=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$•$\frac{sinθcosθ}{（sinθ+cosθ+1）^{2}}$（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）；
（2）由①得S=$\frac{x（1-2x）}{4（1-x）}$（0＜x＜$\frac{1}{2}$），
设1-x=t（$\frac{1}{2}$＜t＜1），则x=1-t，
S=$\frac{1}{4}$•$\frac{（1-t）（2t-1）}{t}$=$\frac{1}{4}$•（3-2t-$\frac{1}{t}$）
≤$\frac{1}{4}$•（3-2$\sqrt{2t•\frac{1}{t}}$）=$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当2t=$\frac{1}{t}$，即t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即x=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，
直角三角形地块AEF的面积S最大，且为$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，同时考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．