Question

如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形，取其公共边BC的中点E，连接AE、DE后可得BC与AE和DE都垂直，然后运用线面垂直的判定得到BC垂直于平面AED，从而得到要证的结论；
（2）设出棱长AD=x，把三棱锥A-BCD的体积用三棱锥B-AED和C-AED的体积表示，最后把棱锥体积化为关于x的函数关系，用二次函数的知识求解最大值．

解答：（Ⅰ）证明　取BC的中点E，连接AE，DE，
∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形，
∴AE⊥BC，DE⊥BC．
又∵AE∩DE=E，
∴BC⊥平面AED．又AD?平面AED，
∴BC⊥AD． 
（Ⅱ）解：∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形，
∴AE=DE，∴△AED为等腰三角形，
在直角三角形ABE中，AE=

AB2-BE2

=

42-22

=2

3

．
∴AE=ED=2

3

，
设AD=x，取F为棱AD的中点，∴EF⊥AD，
则EF=

12-( x 2 )2

，
S△AED=

1

2

•x•

(2 3 )2-( x 2 )2

=

1

4

48x2-x4

，
∴V=

1

3

S△AED•(BE+EC)=

1

3

×

1

4

48x2-x4

×4
=

1

3

48x2-x4

(0＜x＜4

3

)，
根式内为关于x²的二次三项式，其对应的图象为开口向下的抛物线，
所以，当x²=24，即x=2

6

时，V_max=8，
∴该四面体存在最大值，最大值为8，
此时棱长AD=2

6

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．