Question

（必做题）先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a，b（a＜b），高为h，求梯形的面积．
方法一：延长DA、CB交于点O，过点O作CD的垂线分别交AB、CD于E、F，则EF=h．
设OE=x，∵△OAB∽△ODC，∴

x

x+h

=

a

b

，即x=

ah

b-a

．
∴S_梯形ABCD=S_△ODC-S_△OAB=

1

2

b（x+h）-

1

2

ax=

1

2

（b-a）x+

1

2

bh=

1

2

（a+b）h．
方法二：作AB的平行线MN分别交AD、BC于MN，过点A作BC的平行线AQ分别于MN、DC于PQ，则△AMP∽△ADQ．
设梯形AMNB的高为x，MN=y，

x

h

=

y-a

b-a

⇒y=a+

b-a

h

x，∴S梯形ABCD=

∫

h 0

（a+

b-a

h

x）dx=（ax+

b-a

2h

x²）

|

h 0

=ah+

b-a

2h

•h²=

1

2

（a+b）h．
再解下面的问题：
已知四棱台ABCD-A′B′C′D′的上、下底面的面积分别是S₁，S₂（S₁＜S₂），棱台的高为h，类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积=

1

3

×底面积×高）．

Answer 1

分析：在平面几何中的进行几何性质类比推理时，我们常用的思路是：由平面几何中线段的性质，类比推理平面几何中面积的性质，再结合已知的梯形的面积的步骤，即可类比得到棱台的体积．

解答：解：法一：将V_{四棱台ABCD-A′B′C′D′}补为四棱锥V-ABCD，
设点V到面A′B′C′D′的距离为h′，面ABCD与面A′B′C′D′的距离为棱台的高h，
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，上、下底面的面积分别是S₁，S₂，
∴

s1

s2

=

h′2

(h+h′)2

，∴h′=

h s1

s2 - s1

；
∴V_{四棱台ABCD-A′B′C′D′}=V_{四棱锥A′B′C′D′}-V_{四棱锥ABCD}
=

1

3

×S₂×（h+h′）-

1

3

×S₁×h′=

1

3

S₂h+

1

3

（S₂-S₁）h′=

1

3

（S₁+

S1S2

+S₂）h．
所以，四棱台ABCD-A′B′C′D′的体积为

1

3

（S₁+

S1S2

+S₂）h．
法二：作一与上下底面平行的平面A^″B^″C^″D^″截得四边形的面积为S，它与上底面的距离为x，
过棱A′D′作B′C′CB的平行于平面A′D′PQ，与A^″B^″、C^″D^″、AB、CD分别交于M、N、P、Q，
则△AMN∽△APQ，∴

x2

h2

=

S-S1

S2-S1

，∴S=S₁+

x2

h2

（S₂-S₁），
∴V_{四棱台ABCD-A′B′C′D′}=

∫

h 0

[S₁+

x2

h2

（S₂-S₁）]dx
=[S₁x+

1

3

x3

h2

（S₂-S₁）]

|

h 0

=

1

3

（S₁+

S1S2

+S₂）h．
∴四棱台ABCD-A′B′C′D′的体积为为

1

3

（S₁+

S1S2

+S₂）h．

点评：本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．