Question

休假次数	0	1	2	3
人数	5	10	20	15

某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：
根据上表信息解答以下问题：
（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x²-ηx-1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

（1）函数f（x）=x²-ηx-1过（0，-1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有

f(4)＜0 f(6)＞

0，解得：

15

4

＜η＜

35

6

，
所以，η=4或η=5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
当η=4时，P1=

C 220 + C 110 C 115

C 250

=

68

245

，
当η=5时，P2=

C 120 C 115

C 250

=

12

49

，
又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，
所以P=P1+P2=

68

245

+

12

49

=

128

245

；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，
于是P(ξ=0)=

C 25 +C 210 + C 220 +C 215

C 250

=

2

7

P(ξ=1)=

C 15 C 110 + C 110 C 120 + C 115 C 120

C 250

=

22

49

，
P(ξ=2)=

C 15 C 120 + C 110 C 115

C 250

=

10

49

，
P(ξ=3)=

C 15 C 115

C 250

=

3

49

，
从而ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	2 7	22 49	10 49	3 49

ξ的数学期望：Eξ=0×

2

7

+1×

22

49

+2×

10

49

+3×

3

49

=

51

49

．