Question

已知n是正整数，数列{a_n}的前n项和为S_n，对任何正整数n，等式S_n=-a_n+

1

2

（n-3）都成立．
（I）求数列{a_n}的首项a₁；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设数列{na_n}的前n项和为T_n，不等式2T_n≤（2n+4）S_n+3是否对一切正整数n恒成立？若不恒成立，请求出不成立时n的所有值；若恒成立，请给出证明．

Answer 1

分析：（I）在等式Sn=-an+

1

2

(n-3)中，令n=1．解关于a₁的方程．
（II）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=  

1

2

an-1+

1

4

，变形转化得出数列{an-

1

2

}是等比数列，求出{an-

1

2

}的通项公式，进而求出数列{a_n}的通项公式．
（III）nan=

n

2

-n•

1

2n-1

，用分组求和法求出T_n，代入关系式，整理，考查不等式恒成立成立与否，注意分离参数思想方法的使用，及求含n的式子的最值．

解答：解：（I）当n=1时，a1= S1= -a1+

1

2

(1-3)，解得a1=-

1

2

．
   （II）当n≥2时，an=Sn-Sn-1= 

1

2

an-1+

1

4

，则an-

1

2

=

1

2

(an-1-

1

2

)
因此数列{an-

1

2

}是首项为-1，公比为

1

2

的等比数列，
∴an-

1

2

=(-1)•(

1

2

)n-1
∴an=

1

2

-

1

2n-1

 数列{a_n}的通项公式是an=

1

2

-

1

2n-1

 （III）不等式2T_n≤（2n+4）S_n+3对一切正整数n都成立，
∵nan=

n

2

-n•

1

2n-1

，
∴Tn=

1

2

(1+2+3+…+n)-(1+2•

1

2

+3•

1

22

+…+n•

1

2n-1

)
令Un=-(1+2•

1

2

+3•

1

22

+…+n•

1

2n-1

)
则

1

2

 Un= 

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+(n-1)•

1

2n-1

+n•

1

2n

上面两式相减：

1

2

Un= 1+

1

2

+

1

22

 +…+

1

2n-1

-n•

1

2n

即Un=4-

n+2

2n-1

∴Tn=

n(n+1)

4

- 4+

n+2

2n-1

=

n2+n-16

4

+

n+2

2n-1

∵Sn=-an+

1

2

(n-3)=-

1

2

+

1

2n-1

+

n-3

2

=

n-4

2

+

1

2n-1

∴2T_n-（2n+4）S_n=

n2+n-16

2

+

n+2

2n-2

-

2(n+4)(n-4)

2

- 

n+2

2n-2

=

-n2+5n

2

∴当n=2或n=3时，

-n2+5n

2

的值最大，最大值为3，
∴对一切正整数n.2T_n-（2n+4）S_n≤3
∴不等式2T_n-（2n+4）S_n+3对一切正整数n都成立．

点评：本题考查用变形，化简转化成等差或等比数列，研究问题的知识方法．（Ⅱ）中的方法适用于形如：已知a_n+1=pa_n+q（p，q≠0），求a_n，注意分离参数思想方法，及求含n的式子的最值在研究数列与不等式综合问题的价值．