Question

函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0，都有 f（

x

y

）=f（x）-f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（

1

x

）＜2．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）利用单调性的定义，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后，判断符号即可；
（3）依题意，由f（6）=1⇒f（36）=2，于是f（x+3）-f （

1

x

）＜2?f（x²+3x）＜f（36）?

x+3＞0 1 x ＞0 x2+3x＜36

，解之即可．

解答：解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）-f（1）=0，
所以f（1）=0．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

），
∵x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1，故f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）因为f（6）=1，所以f（36）-f（6）=f（6），
所以f（36）=2f（6）=2．
由f（x+3）-f （

1

x

）＜2，得f（x²+3x）＜f（36），
所以

x+3＞0 1 x ＞0 x2+3x＜36

即

x＞-3 x＞0 -3-3 17 2 ＜x＜ -3+3 17 2

解得：0＜x＜

3 17 -3

2

．
所以原不等式的解集为（0，

3 17 -3

2

）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的证明，考查不等式的解法，属于中档题．