Question

对于各项均为正数且各有m项的数列{a_n}，{b_n}，按如下方法定义数列{t_n}：t=0，
（n=1，2…m），并规定数列{a_n}到{b_n}的“并和”为S_ab=a₁+a₂+…+a_n+t_m．
（Ⅰ）若m=3，数列{a_n}为3，7，2；数列{b_n}为5，4，6，试求出t₁、t₂、t₃的值以及数列{a_n}到{b_n}的并和S_ab；
（Ⅱ）若m=4，数列{a_n}为3，2，3，4；数列{b_n}为6，1，x，y，且S_ab=17，求证：y≤5；
（Ⅲ）若m=6，下表给出了数列{a_n}，{b_n}：

如果表格中各列（整列）的顺序可以任意排列，每种排列都有相应的并和S_ab，试求S_ab的最小值，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由数列{t_n}的定义可知：令n=1，2，3可求得t₁、t₂、t₃的值以及数列{a_n}到{b_n}的并和S_ab；
（Ⅱ）数列{a_n}为3，2，3，4；且S_ab=17，求出t₄，根据数列{t_n}的定义，可求得t₁、t₂、t₃的值，比较t₃和t₄的大小，即可证明y≤5；
（Ⅲ）当1≤n≤6时，由（Ⅱ）知t_n=max{b_n，t_n-1-a_n+b_n}，则t_n≥t_n-1-a_n+b_n，即t_n-t_n-1≥b_n-a_n，采用累加法即可求得关于S_ab的不等式，分类讨论求得其最小值．
解答：解：（Ⅰ）由数列{t_n}的定义可知：t₁=b₁=5，
t₂=b₂=4，
t₃=t₂-a₃+b₃=8，
S_ab=a₁+a₂+a₃+t₃=20．
（Ⅱ）证明：由S_ab=17，得t₄=S_ab-（a₁+a₂+a₃+a₄）=5．
而t₁=b₁=6，t₂=t₁-a₂+b₂=5，t₃=t₂-a₃+b₃=x+2，
当t₃＜a₄，即x＜2t₄=b₄=y，则y=5
t₃≥a₄即x≥2有t₄=t₃-a₄+b₄=x-2+y，则y=7-x≤7-2=5，
综上所述，必有y≤5成立．

（Ⅲ）S_ab的最小值为51，当表格如下排列（记作排列※）时可取到：

当1≤n≤6时，由（Ⅱ）知t_n=max{b_n，t_n-1-a_n+b_n}，
则t_n≥t_n-1-a_n+b_n，即t_n-t_n-1≥b_n-a_n．于是
t₆-t₅≥b₆-a₆，
t₅-t₄≥b₅-a₅，
t₄-t₃≥b₄-a₄，
t₃-t₂≥b₃-a₃，
t₂-t₁≥b₂-a₂．
将上述不等式相加得：
t₆-t₁≥（b₂+b₃+…+b₆）-（a₂+a₃+…+a₆）．
∵S_ab=（a₁+a₂+a₃+…+a₆）+t₆．
∴S_ab≥（a₁+a₂+…+a₆）+t₁+（b₂+b₃+…+b₆）-（a₂+a₃+…+a₆）．
∴S_ab≥a₁+b₁+（b₂+b₃+…+b₆）=46+a₁．①
将前4个不等式相加得t₆-t₂≥（b₃+b₄+b₅++b₆）-（a₃+a₄+a₅+a₆）．
类似地，可整理得S_ab≥t₂+（46-b₁-b₂）+a₁+a₂．②
若a₁≠3，可见a₁≥5，由①得S_ab≥46+a₁≥51；
若a₁=3，则b₁=1，那么t₁=b₁=1＜a₂，故t₁=b₂．
此时由②得S_ab≥t₂+（46-b₁-b₂）+a₁+a₂=46-b₁+a₁+a₂=48+a₂≥53．
综上所述，S_ab≥51总是成立的．
点评：考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题（Ⅲ）的设置，增加了题目的难度，同时也考查了分类讨论的思想，属难题．