Question

在边长为a的正方形ABCD中内依次作内接正方形A_iB_iC_iD_i（i=1，2，3，…），使内接正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为a，求所有正方形的面积之和．

Answer 1

分析：令第k个正方形的边长为a_k，则可表示出a_k+1和a_k的关系式，整理求得（

ak+1

ak

）²=（

1

sinα+cosα

）²，推断出{a_k²}为等比数列，进而利用等比数列的求和公式和等比数列的极限公式求得所有正方形面积之和．

解答：解：令第k个正方形的边长为a_k，则a_k+1（sina+cosa）=a_k （0＜a＜

π

2

），

ak+1

ak

=

1

sinα+cosα

∴（

ak+1

ak

）²=（

1

sinα+cosα

）²，
即{a_k²}为等比数列，且公比小于1，
∴所有正方形面积之和
S=

a2

1-( 1 sinα+cosα )  2

=

2a2sin 2(α+ π 4 )

(sinα+cosα)2-1

=

2a2sin 2(α+ π 4 )

sin2α

点评：本题主要考查了数列的应用，数列与极限的综合．考查了学生分析问题和解决问题的能力．