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    如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O⊥底面ABCD,AB=AA1=.

    (1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;

    (2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积.

     

    【答案】

    (1)见解析 (2)1

    【解析】

    (1)证明:由题设知,BB1DD1,

    ∴BB1D1D是平行四边形,

    ∴BD∥B1D1.

    又BD平面CD1B1,

    ∴BD∥平面CD1B1.

    ∵A1D1B1C1BC,

    ∴A1BCD1是平行四边形,

    ∴A1B∥D1C.

    又A1B平面CD1B1,

    ∴A1B∥平面CD1B1.

    又∵BD∩A1B=B,

    ∴平面A1BD∥平面CD1B1.

    (2)解:∵A1O⊥平面ABCD,

    ∴A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高.

    又∵AO=AC=1,AA1=,

    ∴A1O==1.

    又∵S△ABD=××=1,

    ∴=S△ABD×A1O=1.

     

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    （Ⅰ）求证：C1D∥平面ABB1A1；
    （Ⅱ）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；
    （Ⅲ）求二面角D-A1C1-A的余弦值．

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    ．

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    （Ⅰ）证明：AC⊥A1B；
    （Ⅱ）若棱AA1上存在一点P，使得
    AP
    =λ
    PA1
    ，当二面角A-B1C1-P的大小为300时，求实数λ的值．

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    （2013•泉州模拟）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD．
    （Ⅰ）从下列①②③三个条件中选择一个做为AC⊥BD1的充分条件，并给予证明；
    ①AB⊥BC，②AC⊥BD；③ABCD是平行四边形．
    （Ⅱ）设四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠BAD为锐角，求平面BDD1与平面BC1D1所成锐二面角θ的取值范围．

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    （2013•天津）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
    AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．
    （Ⅰ）证明B1C1⊥CE；
    （Ⅱ）求二面角B1-CE-C1的正弦值．
    （Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为
    		2
    6
    ，求线段AM的长．

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