Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的顶点为A₁，A₂，B₁，B₂，焦点为F₁，F₂，，|A₁B₁|=

7

，S_?A1B1A2B2=2S_?B1F1B2F2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，且|

OP

|=1，是否存在上述直线l使

AP

•

PB

=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆的几何性质知a²+b²=7，由已知条件得知a=2c，从而解得a，b即求出其方程．
（Ⅱ）考虑两种情况，一是l与x轴垂直，结合条件判断得知此时符合题意；二是l与x轴不垂直，设其方程为y=kx+m，由|

OP

|=1，得知m²=k²+1，再由

AP

•

PB

=1和|

OP

|=1得知OA⊥OB，即找到x₁x_2⁺y₁y₂=0，然后直线和椭圆联解得到m与k的第二个关系式，联解知无解．所以第二种不符合题意．故只有第一种符合题意．因此存在直线l满足条件．

解答：解：（Ⅰ）由|A1B1|=

7

知a²+b²=7，①
由S_□A1B1A2B2=2S_□B1F1B2F2 知a=2c，②
又b²=a²-c²                   ③
由 ①②③解得a²=4，b²=3，
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）
若l垂直于x轴时，p点即是右焦点（1，0），此时不满足

AP

•

PB

=1，直线l的方程不存在．
若l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于P点且|

OP

|=1得

|m|

1+k2

=1，即m²=k²+1  ④
∵

AP

•

PB

=1，|

OP

|=1，得知OA⊥OB所以x₁x_2⁺y₁y₂=0，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
x1x2=

4m2-12

3+4k2

，x1+x2=

-8km

3+4k2

，
又y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

3m2-12k2

3+4k2

，代入x₁x_2⁺y₁y₂=0中得7m²-12k²-12=0．⑤
由④⑤可知无解．所以此时l不存在．
故不存在直线方程使

AP

•

PB

=1成立．

点评：此题考查了椭圆的几何性质，及直线和椭圆的位置关系应用．