Question

AB是过抛物线y²=2px（p＞0）焦点F的一条弦，且|AF|=1，，求抛物线及直线AB方程．

Answer 1

解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 ，，…（2分）
则，
∴，…（4分）
而若设过焦点（，0）的直线斜率存在且不为0，则可设AB的方程为：y=k（x-）
又因为A，B两点是直线AB与抛物线的交点，则
，?x²-（+p）x+=0
∴，
由．
得 ，…（6分）
即，
∴，
抛物线方程为y²=x．…（8分）
设直线AB的倾斜角为θ，
又根据两点间的距离公式得：|AB|²=（y₂-y₁）²+（x₂-x₁）²=（tan²θ+1）（x₂-x₁）²
由于直线AB过点（，0），设直线AB为y=tanθ（x-），
联立得到：tan²θx²-（tan²θ+2）px+p²tan²θ=0
那么（x₂-x₁）²
=（x₂+x₁）²-4x₁x ₂
=（×p）²-4×
=4p²（tan²θ+1）×
那么|AB|²=（tan²θ+1）（x₂-x₁）²
=（tan²θ+1）×4p²（tan²θ+1）×
=．
∴，
由，得 ，
∴，∴θ=60⁰或120⁰，
得 ，
所以AB方程为 ．…（12分）
分析：设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|求得x₁+x₂的表达式，表示出|AF|•|BF|建立等式求得p，则抛物线方程可得．再由，得 ，从而利用特殊角的三角函数求出直线AB的斜率，由点斜式方程写出AB方程．
点评：本题主要考查了抛物线的应用、直线的点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．对于抛物线的焦点弦问题常借助抛物线的定义来解决，属于基础题．