Question

如图已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．
（1）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的大小．
（2）若二面角P-BF-C的余弦值为

6

6

，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）根据一对对边平行且相等，得到一个四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行，把两条异面直线所成的角表示出来，放到△PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值．
（2）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设出线段的长，根据条件中所给的两个平面的二面角的值，求出设出的a的值，再求出四棱锥的体积．

解答：解：（1）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形
∴DF∥BE且DF=BE
∴DFBE为平行四边形
∴DE∥BF
∠PBF是PB与DE的所成角
△PBF中，BF=

5

，PF=

2

，PB=3
∴cos∠PBF=

2 5

5

∴异面直线PB和DE所成角的大小为arccos

2 5

5

（2）如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设PD=a，
可得如下点的坐标：
P（0，0，a），F（1，0，0），B（2，2，0）
则有：

PF

=(1，0，-a)，

FB

=(1，2，0)
因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的
一个法向量为m=（0，0，1）
设平面PFB的一个法向量为n=（x，y，z），则可得

PF •n=0 FB •n=0

即

x-az=0 x+2y=0

令x=1，得z=

1

a

，y=-

1

2

，所以n=(1，-

1

2

，

1

a

)
由已知，二面角P-BF-C的余弦值为

6

6

，所以得：cos＜m，n＞=

m•n

|m||n|

=

1 a

5 4 + 1 a2

=

6

6

解得a=2．
因为PD是四棱锥P-ABCD的高，
∴其体积为VP-ABCD=

1

3

×2×4=

8

3

点评：本题考查立体几何的综合问题，在题目中不是求二面角．二是乙二面角的大小为已知条件，求出图形中的未知量，再进行其他的运算．