Question

一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h₁，h₂，h，则h₁：h₂：h=

 

．

Answer 1

分析：由题意画出图形，几何体是一个棱长都相等的斜三棱柱，四棱锥的高是P到AD的距离；三棱锥的高及三棱柱的高都是三棱锥的高；不难求得结果．

解答：解：由题意作图如图，几何体是一个棱长都相等的斜三棱柱，
设棱长为1，四棱锥是棱长都相等的正四棱锥，三棱锥是一个正四面体
四棱锥的高是P到面AC的距离，P点到线段AD的距离是

3

2

，令P在底面AC上的身影为0，连接AO，则AO=

2

2

，故PO=

PA2-AO2

=

12-( 2 2 )2

=

2

2

；
三棱锥的高就是P点到面SBC的距离，令P点在面SBC上的身影为M，则M是三角形的重心，故SM=

2

3

 × 

3

2

=

3

3

故PM=

PS2-SM2

=

12-( 3 3 )2

=

6

3

；
三棱柱的高也是PM=

6

3

．
因而h₁：h₂：h=

2

2

：

6

3

：

6

3

=

1

2

：

3

3

：

3

3

故答案为：

1

2

：

3

3

：

3

3

点评：本题考查简单几何体的有关知识，考查空间想象能力，考查同学的想图、视图能力，是基础题．