Question

（1）如果(x+

1

x

)2n展开式中，第四项与第六项的系数相等．求n，并求展开式中的常数项；
（2）求(

x

-

1

2 4 x

)8展开式中的所有的有理项．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式中第4项与第6项的系数，列出方程解得n值，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项；
（2）先求得展开式的通项公式，在通项公式中令x的幂指数为有理数，求得r的值，即可求得展开式中有理项．

解答：解：（1）∵(x+

1

x

)2n展开式中，第四项与第六项的系数相等，
∴C_2n³=C_2n⁵，
∴3+5=2n，即n=4，
∴展开式中的通项为T_r+1=C₈^rx^8-2r，
若它为常数项，则r=4，∴T₅=C₈⁴=70．即常数项为70；
（2）设第k+1项为有理项，则T_k+1=C₈^kx

8-k

2

(-

1

2

x-

1

4

)k=C₈^k•(-

1

2

)k•x

16-3k

4

，
∵0≤k≤8，要使

16-3k

4

∈Z，只有使k分别取0，4，8，
∴所求的有理项应为：T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₁=

1

256

x-2．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．属于中档题．