Question

已知两直线l₁：ax-by+4=0，l₂：（a-1）x+y+b=0．求分别满足下列条件的a，b的值．
（1）直线l₁过点（-3，-1），并且直线l₁与l₂垂直；
（2）直线l₁与直线l₂平行，并且坐标原点到l₁，l₂的距离相等．

Answer 1

分析：（1）利用直线l₁过点（-3，-1），直线l₁与l₂垂直，斜率之积为-1，得到两个关系式，求出a，b的值．
（2）类似（1）直线l₁与直线l₂平行，斜率相等，坐标原点到l₁，l₂的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．

解答：解：（1）∵l₁⊥l₂，
∴a（a-1）+（-b）•1=0，即a²-a-b=0①
又点（-3，-1）在l₁上，
∴-3a+b+4=0②
由①②得a=2，b=2．
（2）∵l₁∥l₂，∴

a

b

=1-a，∴b=

a

1-a

，
故l₁和l₂的方程可分别表示为：
（a-1）x+y+

4(a-1)

a

=0，（a-1）x+y+

a

1-a

=0，
又原点到l₁与l₂的距离相等．
∴4|

a-1

a

|=|

a

1-a

|，∴a=2或a=

2

3

，
∴a=2，b=-2或a=

2

3

，b=2．

点评：本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．