Question

3．若曲线y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$与直线y=x+b始终有交点，则b的取值范围是[-1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据曲线方程的特点得到此曲线的图象为一个半圆如图所示，然后分别求出相切、过（-1，0）及过（1，0）的直线方程，利用图象即可得到满足条件的b的范围．

解答 解：曲线y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$代表半圆，图象如图所示．
当直线与半圆相切时，圆心（0，0）到直线y=x+b的距离d=$\frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}}$=r=1，
解得b=$\sqrt{2}$，b=-$\sqrt{2}$（舍去），
当直线过（-1，0）时，把（-1，0）代入直线方程y=x+b中解得b=1；
当直线过（1，0）时，把（1，0）代入直线方程y=x+b中解得b=-1．
根据图象可知直线与圆有交点时，b的取值范围是：[-1，$\sqrt{2}$]；
当有一个交点时，b的取值范围为：[-1，1）∪{$\sqrt{2}$}；
当有两个交点时，b的取值范围是：[1，$\sqrt{2}$）．
故答案为：[-1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查学生掌握直线与圆的位置关系的判别方法，灵活运用数形结合的数学思想解决实际问题．是一道综合题．