Question

（2012•西城区二模）已知函数f（x）=x²+bx+1是R上的偶函数，则实数b=

0

；不等式f（x-1）＜x的解集为

{x|1＜x＜2}

．

Answer 1

分析：根据偶函数定义，f（-x）=f（x）对任意实数x恒成立，比较系数可得实数b的值．因此得到将f（x-1）＜x化成一元二次不等式形式，可得所求的解集．

解答：解：∵函数f（x）=x²+bx+1是R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x）对任意实数x恒成立，
即（-x）²-bx+1=x²+bx+1对任意实数x恒成立，比较系数得b=0
∴f（x）=x²+1，可得f（x-1）=（x-1）²+1=x²-2x+2，
不等式f（x-1）＜x即：x²-3x+2＜0，解之得1＜x＜2
原不等式的解集为：{x|1＜x＜2}
故答案为：0，{x|1＜x＜2}

点评：本题给出二次函数为偶函数，求参数b的值并求一元二次不等式的解集，着重考查了函数单调性、奇偶性和一元二次不等式解集等知识，属于基础题．