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(精典回放)设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:①f(-1)=f(1)=0;②对任意的μ、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤-v|

(1)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)证明:对任意的μ、v∈[-1,1],都有

|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x),且使得:

|f(μ)-f(v)|<-v|,当μ、v∈[0,].

|f(μ)-f(v)|<-v|,当μ、v∈[,1].

若存在,请举一例;若不存在,请说明理由.

答案:
解析:

  (1)证明:由题设条件可知,当x∈[-1,1]时,有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x.

  即:x-1≤f(x)≤1-x.

  (2)证明:对任意的u、v∈[-1,1].

  当|u-v|≤1时,有|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1.

  当|u-v|>1时,有u·v<0,不妨设u<0,则v>0,且v-u>1,

  所以|f(u)-f(v)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)<1.

  综上可知:对任意的u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤1.

  (3)解:满足所述条件的函数不存在,理由如下:假设存在函数f(x)满足条件,则由

  |f(u)-f(v)|=|u-v|,u、v∈[,1],

  得|f()-f(1)|=|-1|=

  又f(1)=0,所以|f()|=

  又因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0.

  由条件|f(u)-f(v)|<|u-v|,u,v∈[0,],

  得|f()|=|f()-f(0)|<

  这与|f()|=矛盾,所以假设不成立,即这样的函数不存在.


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