Question

13．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1（x≥0）}\\{4xcosπx-1（x＜0）}\end{array}\right.$，g（x）=kx-1（x∈R），若函数y=f（x）-g（x）在x∈[-2，3]内有4个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （2$\sqrt{2}$，$\frac{11}{3}$）
• B． （2$\sqrt{2}$，$\frac{11}{3}$]
• C． （2$\sqrt{3}$，4）
• D． （2$\sqrt{3}$，4]

Answer 1

分析 函数y=f（x）-g（x）在x∈[-2，3]内有4个零点，令h（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2}{x}，x＞0\\ 4cosπx，x＜0\end{array}\right.$，则函数h（x）的图象与y=k在x∈[-2，3]内有4个交点，画出图象数形结合，可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1（x≥0）}\\{4xcosπx-1（x＜0）}\end{array}\right.$，g（x）=kx-1（x∈R），
令函数y=f（x）-g（x）=0，则x≠0，
则k=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2}{x}，x＞0\\ 4cosπx，x＜0\end{array}\right.$，
令h（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2}{x}，x＞0\\ 4cosπx，x＜0\end{array}\right.$，
则函数h（x）的图象与y=k在x∈[-2，3]内有4个交点，
函数h（x）的图象如下图所示：

由图可得：k∈（2$\sqrt{2}$，$\frac{11}{3}$]，
故选：B

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的图象，函数的零点，数形结合思想，难度中档．