Question

已知圆的方程是x²+y²=4，求
（1）斜率等于1的切线的方程；
（2）在y轴上截距是2

2

的切线的方程．

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，
（1）由已知切线的斜率为1，设出切线的点斜式方程为y=x+b，由直线与圆相切，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，进而确定出所求切线的方程；
（2）由切线与y轴的截距，设出直线与x轴的截距为a，表示出直线的截距式方程，由直线与圆相切，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而确定出所求切线的方程．

解答：解：由圆的方程x²+y²=4，得出圆心坐标为（0，0），半径r=2，
（1）设斜率为1的切线方程为y=x+b，
∴圆心到y=x+b的距离d=

|b|

2

=r=2，
解得：b=±2

2

，
则所求切线方程为y=x+2

2

或y=x-2

2

；
（2）设y轴上截距是2

2

的切线的方程为

x

a

+

y

2 2

=1，即2

2

x+ay-2a

2

=0，
∴圆心到切线的距离d=

|2a 2 |

(2 2 )2+a2

=r=2，即8a²=4（8+a²），
解得：a=±2

2

，
则所求切线的方程为：x+y-2

2

=0或x-y+2

2

=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线的点斜式方程，直线的截距式方程，圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练运用此性质是解本题的关键．