Question

已知向量

a

=（x，1），

b

=（1，-sinx），函数f（x）=

a

•

b

．
（1）若x∈[0，π]，试求函数f（x）的值域；
（2）若θ为常数，且θ∈（0，π），设g（x）=

2f(θ)+f(x)

3

-f（

2θ+x

3

），x∈[0，π]，请讨论g（x）的单调性，并判断g（x）的符号．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积运算，求出函数，再利用导数法潘函数的单调性，从而可求函数f（x）的值域；
（2）求导函数，根据θ∈（0，π），x∈[0，π]，由g′（x）=0，得x=

2θ+x

3

，即x=θ．从而可确定g（x）的单调性，进一步可判断g（x）的符号．

解答：解：（1）∵向量

a

=（x，1），

b

=（1，-sinx），
∴f（x）=

a

•

b

=x-sinx，
∴f′（x）=1-cosx，
∵x∈[0，π]．
∴f′（x）≥0．
∴f（x）在[0，π]上单调递增．
于是f（0）≤f（x）≤f（π），即0≤f（x）≤π，
∴f（x）的值域为[0，π]．
（2）g（x）=

2(θ-sinθ)+x-sinx

3

-

2θ+x

3

+sin

2θ+x

3

=-

2

3

sinθ-

1

3

sinx+sin

2θ+x

3

，
∴g′（x）=-

1

3

cosx+

1

3

cos

2θ+x

3

．
∵x∈[0，π]，θ∈（0，π），
∴

2θ+x

3

∈（0，π）．
而y=cosx在[0，π]内单调递减，
∴由g′（x）=0，得x=

2θ+x

3

，即x=θ．
因此，当0≤x＜θ时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当θ＜x≤π时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
由g（x）的单调性，知g（θ）是g（x）在[0，π]上的最小值，
∴当x=θ时，g（x）=g（θ）=0；当x≠θ时，g（x）＞g（θ）=0．
综上知，当x∈[0，θ）时，g（x）单调递减，当x∈（θ，π]时，g（x）单调递增；
当x=θ时，g（x）=0；
当x≠θ时，g（x）＞0．

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查向量的数量积，考查利用导数判断函数的单调性，正确分类是关键．