分析：（Ⅰ）由题设知D
n内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=-mx+3m为l，l与直线x=1和x=2的交点的纵坐标分别为y
1、y
2，由y
1=2n，y
2=n，知a
n=3n（n∈N*），再用数学归纳法证明．
（Ⅱ）先求得
Sn=，所以
Tn=．因为对一切n∈N
*，T
n＞m恒成立，所以m＜T
n的最小值，从而可求．
解答：
解：（Ⅰ）当n=1时，D
1为Rt△OAB
1的内部包括斜边，这时a
1=3，
当n=2时，D
2为Rt△OAB
2的内部包括斜边，这时a
2=3，
当n=3时，D
3为Rt△OAB
3的内部包括斜边，这时a
3=9
由此可猜想a
n=3n
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，猜想显然成立．
（2）假设当n=k时，猜想成立，即a
k=3k
如图，平面区域D
k为Rt△OAB
k内部包括斜边、平面区域D
k+1为Rt△△OAB
k+1内部包括斜边，∵平面区域D
k+1比平面区域D
k多3个整点，（7分）
即当n=k+1时，a
k+1=3k+3=3（k+1），这就是说当n=k+1时，猜想也成立，
由（1）、（2）知a
n=3n对一切n∈N
*都成立．（8分）
（Ⅱ）∵a
n=3n，∴数列{a
n}是首项为3，公差为3的等差数列，
∴
Sn=．∴
=(-)，∴
Tn=∵对一切n∈N
*，T
n＞m恒成立，∴m＜T
n的最小值．
∵
Tn=在[1，+∞）上为增函数∴T
n的最小值为
，∴
m＜，满足
m＜的自然数为0，
∴满足题设的自然数m存在，其值为0．（14分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用和不等式的应用．
在平面直角坐标系上，设不等式组
如图，阴影是集合P={（x，y）|（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=4，0≤θ≤π}在平面直角坐标系上表示的点集，则阴影中间形如“水滴”部分的面积等于（ ）