Question

已知(1+2

3	x

)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的

5

6

，
（Ⅰ）求展开后所有项系数之和及所有项的二项式系数之和；
（Ⅱ）求展开式中的有理项．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由题意可得 C_n^r2^r=2 C_n^r-12^r-1，且 C_n^r2^r=

5

6

C

r+1 n

2r+1，利用二项式系数的性质求出n值．
（Ⅱ）由展开式中的通项  T_k+1=C₇^K•2^K•x

k

3

，k∈z，可知，故当 k=0，3，6时的项为有理项．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得 C_n^r2^r=2 C_n^r-12^r-1，且 C_n^r2^r=

5

6

C

r+1 n

2r+1，
解得 n=7，r=4．  故展开后所有项系数之和为（1+2）⁷=3⁷，所有项的二项式系数之和为 2ⁿ=2⁷．
（Ⅱ）展开式中的通项  T_k+1=C₇^K•2^K•x

k

3

，k∈z，故当 k=0，3，6时的项为有理项，
故有理项为第一项  T₁=1，第四项 T₄=C₇³•8x=280x，第七项  T₇=C₇⁶•2⁶x²=448x²．

点评：本题考查二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求出n值，是解题的关键．