Question

已知数列{a_n}为等差数列，公差d≠0，{a_n}的部分项组成下列数列：a_k1，a_k2，…，a_kn，恰为等比数列，其中k₁=1，k₂=5，k₃=17，求k₁+k₂+k₃+…+k_n．

Answer 1

分析：运用等差（比）数列的定义分别求得a_kn，然后列方程求得k_n．

解答：解：设{a_n}的首项为a₁，∵a_k1，a_k2，a_k3成等比数列，
∴（a₁+4d）²=a₁（a₁+16d）．
得a₁=2d，q=

ak2

ak1

=3．
∵a_kn=a₁+（k_n-1）d，又a_kn=a₁•3^n-1，
∴k_n=2•3^n-1-1．
∴k₁+k₂+…+k_n=2（1+3+…+3^n-1）-n
=2×

1-3n

1-3

-n=3ⁿ-n-1．

点评：运用等差（比）数列的定义转化为关于k_n的方程是解题的关键，转化时要注意：a_kn是等差数列中的第k_n项，而是等比数列中的第n项．